Ivar O Bendixson

Ivar Otto Bendixson, f. 1 aug. 1861 å Bergshyddan, Djurgårdsbrunn. Föräldrar: grosshandlaren Vilhelm Emanuel Bendixson och Tony Amalia Warburg. Genomgick nya förberedande elementarskolan, som sedan övergick i Stockholms ateneum; avlade mogenhetsexamen 25 maj 1878; inskriven vid tekniska högskolan 13 sept. s. å.; student vid Uppsala universitet vt. 1879; fil. kand. 27 jan. 1881; inskriven vid Stockholms högskola ht. 1882; tjänstgjorde som amanuens därstädes ht. 1884–ht. 1885; efter studier i Stockholm fil. lic. vid Uppsala universitet 29 maj 1890. Docent i matematik vid Stockholms högskola 10 juni s. å.; förordnad att förestå professuren i högre matematisk analys 5 mars 1891–31 maj 1892; e. lärare vid tekniska högskolan 12 aug. 1892 till slutet av vt. 1899; lärare i differential- och integralkalkyl samt algebra vid Stockholms högskola 26 sept. 1892–15 dec. 1899; tf. professor i ren matematik vid tekniska högskolan ht. 1899; professor därstädes 26 jan. 1900; stadsfullmäktig 1903; professor i högre matematisk analys vid Stockholms högskola 16 juni 1905; ledamot av triangelmätningsnämnden 29 okt. 1906–1916, av kafékommittén fr. o. m. år 1907 samt av fattigsakförarkommittén 9 dec. 1907–27 dec. 1909; Stockholms högskolas rektor fr. o. m. år 1911; sakkunnig för revision av den proportionella valmetoden 17 sept. 1912–3 dec. 1913, LVA 1905; fil. hedersdoktor 24 maj 1907; LVVS 1920.

Gift 19 dec. 1887 med Anna Helena Lind, f. 12 febr. 1860, dotter till kassören, sedermera brukspatronen Johan Lind.

B. tillhör den krets av betydande matematiker, vilkas namn äro knutna till den första utvecklingen av den år 1878 nybildade Stockholms högskola. Sedan inskrivningsåret 1882 har B. varit fästad vid högskolan, först såsom elev och sedan såsom en lärare med enhälligt erkänd, ovanlig förmåga av pregnant, intresseväckande och uppslagsrik framställning. Stilistiska förtjänster och formell elegans utmärka även i hög grad B:s vetenskapliga författarskap, som fastän jämförelsevis mindre omfattande dock varit rikt på betydelsefulla resultat. B. kan datera viktiga uppslag redan från de första studieåren och har sedan med en utvecklingsgång, vari kan spåras ett tilltagande intresse för problem av konkret natur, ägnat sig åt vitt skilda grenar av matematiken. Utgångspunkten markeras av de abstrakta men för fördjupningen och preciseringen av analysens grundbegrepp väsentliga frågor, som ställas i den av G. Cantor grundade teorien för punktmängder. B. har erhållit viktiga resultat beträffande strukturen av (i första hand »slutna») punktmängder. Som ung student fäste han sitt namn vid den fundamentala, i ett (sedermera i Acta mathematica publicerat) brev till Cantor först uttalade satsen att: »varje icke uppräknelig sluten punktmängd kan uppdelas i en perfekt och en uppräknelig mängd». Den perfekta mängd, som enligt B. framkommer vid denna uppdelning, är identisk med en derivata av en viss ordning av den ursprungliga mängden, varvid derivatans ordningstal är ett tal av den 1:a eller 2:a Cantorska talklassen. Det av B. givna beviset för satsen blir sålunda intimt förbundet med föreställningen om det Cantorska transfinita talbegreppet och kan i själva verket sägas höra till de punktmängdsteoretiska undersökningar, som äro bäst ägnade att åskådliggöra de transfinita talens natur. Ett intressant bidrag till kännedomen om de perfekta punktmängdernas byggnad har B. givit genom att för första gången med exempel visa, att en perfekt mängd kan vara icke kontinuerligt sammanhängande, m. a. o. kan vara ingenstädes tät. I algebran har B. bland annat upptagit och på ett viktigt sätt kompletterat ett klassiskt problem. Frågan om ekvationers lösbarhet med radikaler har i den moderna algebran tack vare den förgrundsplats, som de av Galois införda substitutionsmetoderna kommit att intaga, utvecklats på vägar, i viss mån främmande för tankegången i N. H. Abels berömda och grundläggande avhandlingar. B. har med återgående till de Abelska metoderna lyckats fullständigt lösa uppgiften att bestämma samtliga algebraiskt lösbara ekvationer och har därmed givit ett bevis på räckvidden av Abels ursprungliga idéer, som med rätta funnit plats i ett av de åt Abels minne ägnade banden av Acta mathematica.

Huvudparten av B:s senare matematiska produktion har varit ägnad åt problem inom analysen. Till den reella funktionsteorien har B. bidragit med en studie över den likformiga konvergensen hos en serie av reella funktioner, en undersökning, som fört ett avsevärt steg framåt mot lösningen av den viktiga frågan om preciseringen av villkoren för den genom serier definierade funktionens kontinuitet. För studiet av periodiska lösningar till vissa differentialekvationer har B. på ett intressant sätt använt sig av metoder av aritmetisk karaktär med utgångspunkt från ett bekant kedjebråks teorem, som av sin upptäckare Legendre ursprungligen använts för att bevisa irrationaliteten av talen e och π. Det analytiska problem, som mer än andra fängslat B:s intresse och för vars lösning han genom stora svårigheter kämpat sig fram till definitiva och betydande resultat, gäller undersökningen av integralkurvorna till en differentialekvation av 1:a ordningen och speciellt av de komplicerade förhållanden, som uppstå i närheten av ekvationens singulära punkter. Denna fråga, introducerad i den matematiska litteraturen av C. A. A. Briot och J. C. Bouquet, har i nyare tid behandlats av H. Poincaré, som med genialiskt enkla metoder lyckats erhålla en kvalitativ överblick över integralkurvornas allmänna utseende. Jämte Poincaré är B. den matematiker, som lämnat de viktigaste bidragen till frågans utredning. För problemets kvantitativa utredning har B. i en serie avhandlingar över singulära punkter till differentialekvationer och över kurvor, definierade genom differentialekvationer, lyckats, huvudsakligen med användning av successiva approximationsmetoder, högst väsentligt precisera och fördjupa Poincarés resultat. Inseende den allmänna uppgiftens oöverstigliga svårigheter, har han därvid inskränkt sig till behandlingen av de reella integralkurvorna men med utgång för övrigt från ytterst allmänna förutsättningar. För det reella området har B. sålunda lyckats komma till fundamentala och slutgiltiga resultat, vari bl. a. ingår lösningen till det klassiska, av Briot och Bouquet ställda problemet att bestämma integralkurvornas förhållande i närheten av en obestämdhetspunkt till differentialekvationen. — Utom genom sin vetenskapliga verksamhet har B. för offentligheten gjort sig känd genom ett livligt politiskt intresse, som gjort honom till en framskjuten kommunalpolitiker av utpräglat frisinnad läggning. Hans vetenskapliga sakkunskap har därjämte blivit tagen i bruk för utredning av valtekniska frågor.